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0と1の間が遠い-訂正

0と1の間が遠いの訂正記事
 ふと0と1の間が遠いを見返したら数式がおかしく、考えてみたらやっぱりおかしかったので修正します。

主題:
下記の関数が定義できる。
\[ a \in \mathcal{R}\\ b \in \mathcal{R} \ \land \ b > 0\\ \] \[ {\large B_{0}(a,b) = \left[\frac{|a|+b}{b}\right]-\left[\frac{||a|-b|}{b}\right]\\ } \] \[ {\large B_{1}(a) = \frac{B_{0}(a,1)+1 - |B_{0}(a,1)-1|}{2}\\ } \]
補足:下記の式でもB1(a)定義可能
\[ {\large B_{1}(a) = B_{0}(B_{0}(a,1),3)\\ } \]
Define.1
 上記の式の内、B0はaの値が0の場合は0を、aの絶対値が0超b未満なら1を、aの絶対値がb以上なら2を返す。
\[ a \in \mathcal{R}\\ b \in \mathcal{R} \ \land \ b > 0\\ \] \[ {\large B_{0}(a,b) = \left[\frac{|a|+b}{b}\right]-\left[\frac{||a|-b|}{b}\right]\\ } \] \[ {\large B_{0}(a,b) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & if \ a=0\\ 1 & if \ 0 < |a| < b\\ 2 & if \ b \le |a| \end{array}\right. } \]
Formula.1

 B1はaの値が0の場合は0を、それ以外の場合は1を返す。
\[ a \in \mathcal{R}\\ \] \[ {\large B_{1}(a) = \frac{B_{0}(a,1)+1 - |B_{0}(a,1)-1|}{2}\\ } \] \[ {\large B_{1}(a) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & if \ a = 0\\ 1 & if \ a \neq 0 \end{array}\right. } \]
Formula.2


この関数を拡張し下記の関数を定義できる。
\[ a \in \mathcal{R}\\ b = 1 \ \lor \ b = -1\\ {\large B_{2}(a,b) = \frac{|a|+ab}{|2a|+(1 - B_{1}(a))} } \]
Define.2
この式はbの値が1の時は0超の数に対して1を、-1の時は0未満の数に対して1を返す
\[ a \in \mathcal{R}\\ b = 1 \ \lor \ b = -1\\ \] \[ {\large B_{2}(a,b) = \frac{|a|+ab}{|2a|+(1 - B_{1}(a))} } \] \[ {\large B_{2}(a,1)=\left\{\begin{array}{cl} 1 & if \ 0 \lt a\\ 0 & if \ a \le 0 \end{array}\right. } \]
Formula.3
\[ {\large B_{2}(a,-1)=\left\{\begin{array}{cc} 1 & if \ a < 0 \\ 0 & if \ 0 \le a \end{array}\right. } \]
Formula.4


説明: B0の動作の証明
\[ b \in \mathcal{R} \land b > 0\\ \] \[ {\large \begin{array}{cl} if \ b \le |a| & \ \\ \ & a = nb + x \\ \ & n \in \mathcal{N} \\ \ & 1 \le n \\ \ & 0 \le x \lt b \\ \ & |a|+b = nb+b+x\\ \ & \frac{|a|+b}{b} = n+1+\frac{x}{b}\\ \ & \frac{x}{b} \lt 1 \\ \ & \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor = n+1 \\ \ & \\ \ & |a|-b = nb-b+x\\ \ & 0 \lt |a|-b \\ \ & ||a|-b| = |a|-b = nb-b-x\\ \ & \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = n-1 \\ \ & \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor - \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = n + 1 - (n-1) \\ \ & = 2 \ & \\ \ & \\ \end{array} } \] \[ {\large \begin{array}{cll} if \ |a| \lt b & \ & \ \\ \ & if \ 0 \lt |a| & \\ \ & \ & |a| = b-x \\ \ & \ & 0 \lt x \lt b \\ \ & \ & |a|+b = 2b-x \\ \ & \ & \frac{|a|+b}{b} = 2-\frac{x}{b} \\ \ & \ & \ 0 \lt \frac{x}{b} \lt 1 \\ \ & \ & 1 \lt 2-\frac{x}{b} \lt 2 \\ \ & \ & \ \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor = 1 \\ \ & \ & \ |a|-b= -x \\ \ & \ & \ -x \lt 0 \\ \ & \ & \ ||a|-b| = (|a|-b)\times -1 = x \\ \ & \ & \frac{||a|-b|}{b} = \frac{x}{b} \\ \ & \ & \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = 0 \\ \ & \ & \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor - \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = 1 - 0 \\ \ & \ & = 1 \ & \ & \\ \ & if\ |a| = 0 & \\ \ & \ & |a|+b=b \\ \ & \ & \frac{|a|+b}{b}=1 \\ \ & \ & \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor = 1 \\ \ & \ & |a|-b=-b \\ \ & \ & ||a|-b|=(|a|-b) \times -1 = b \\ \ & \ & \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = b \\ \ & \ & \lfloor\frac{|a|+b}{b}\rfloor - \lfloor\frac{||a|-b|}{b}\rfloor = b-b \\ \ & \ & = 0 \end{array} } \]

以上です。後はB0の入力と出力の結果を考えるだけで構築できるでしょう。
B0を通した時点で返り値のパターンが3つになるというのがポイントです。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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Simeji Dali Simeji Dali

美術史を学んでいます。
専門は「日本のシュルレアリスム」ですが、20世紀美術全般に興味があります。

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